Abraham Aboulafia : la découverte qui devançait les mathématiques modernes de plusieurs siècles

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Au terme de son grand livre, le kabbaliste du XIIIᵉ siècle, Abraham Aboulafia, livre la méthode du Tserouf, véritable socle de tout son enseignement. Pourtant, cette méthode paraît d’une simplicité déconcertante. Il aura fallu un article de combinatoire publié en 1984 pour lever le voile sur le pouvoir de cette méthode.

Le Tserouf

Dans Lumière de l’intellect, Abraham Aboulafia, kabbaliste du XIIIᵉ siècle et lecteur passionné du Guide des égarés, déploie une thèse d’une audace vertigineuse : le langage et le cosmos obéissant au même principe fondamental, l’homme peut accéder au divin par la manipulation des lettres.

Contrairement à ce que l’on dit souvent, ce n’est pas dans les lettres mais dans la pratique mécanique de leur agencement que réside le secret de la prophétie. Aboulafia nomme cette pratique le Tserouf, la permutation méthodique des lettres. Mais pour que cela fonctionne, il faut pratiquer et maîtriser le Tserouf selon une méthode très précise.

Il introduit la présentation de sa methode de la façon suivante :

Cette règle est facile à comprendre, et bien qu’elle n’ait pas de fin que nous puissions appréhender, elle a nécessairement une fin. […]	זה הכלל הוא קל להבינו ואף על פי שאין לו סוף מושג לנו אבל יש לו סוף בהכרח […]
Et c’est pourquoi toutes ses parties sont incluses dans son nom général, qui est le nom de Tserouf des lettres et elle se nomme également le renversement des lettres, car tout est un. […]	ועל כן כל חלקיה נכללו בשמה הכללי והוא שם צירוף האותיות או נקראה הפוך האותיות שהכל אחד […]
Et c’est pourquoi les lettres ont été mises en rotation de face et de dos, comme il est écrit dans le Séfer Yetsirah	ועל כן התגלגלו האותיות בפנים ואחור כמו שכתוב בספר יצירה.

Ensuite, il nous demande tout d’abord de maîtriser le Tsérouf de deux lettres :

AB BA

Ensuite, pour trois lettres, l’énumération des six arrangements doit suivre cet ordre :

ABC ACB BCA BAC CAB CBA

Il établit cet ordre de sorte que :

1. Le dernier mot CBA soit le renversement du premier ABC
2. On garde la première lettre stable aussi longtemps que possible

Il ne dit pas explicitement pourquoi, contrairement à l’ordre alphabétique, BCA doit venir avant BAC.

Pour un mot de 4 lettres, il existe 24 arrangements possibles et nous devons les énumérer selon l’ordre des 4 têtes de blocs suivantes :

Le bloc commençant par A avec les 6 permutations de BCD

Le bloc commençant par B avec les 6 permutations de CDA

Le bloc commençant par C avec les 6 permutations de DAB

Le bloc commençant par D avec les 6 permutations de ABC

Sa méthode lui parait si simple qu’il ne prend même pas la peine de nous donner la liste complète des 24 permutations. Il se contente de donner la règle recursive générale suivante :

1. On garde la première lettre et on fait le Tsérouf des 3 dernières lettres
2. On revient au début du bloc
3. On fait tourner le mot en mettant la première lettre à la fin

Aboulafia garantit que si on applique cette méthode, on ne fera aucune erreur quel que soit le nombre de lettres

Effectivement, en appliquant sa méthode pour un mot de 5 lettres, on obtient les 5 têtes de blocs suivantes :

Le bloc commençant par A avec les 24 permutations de BCDE

Le bloc commençant par B avec les 24 permutations de CDEA

Le bloc commençant par C avec les 24 permutations de DEAB

Le bloc commençant par D avec les 24 permutations de EABC

Le bloc commençant par D avec les 24 permutations de ABCD

En lisant ce texte, je me suis posé les questions suivantes :

1. Pourquoi parle-t-il de « renversement des lettres » alors qu’on les fait tourner ?
2. Qu’entend-il exactement par « mises en rotation de face et de dos » ?
3. Pourquoi n’explique-t-il pas explicitement la raison de BCA avant BAC ?
4. Est-ce l’ordre des permutations qui est la porte d’entrée vers la prophétie ou bien simplement le concept de permutation ?
5. Sachant qu’il il existe de nos jours tant d’algorithmes pour générer des permutations, en quoi l’ordre d’Aboulafia serait-il particulier ?

Aussi surprenant que cela puisse paraître, ce sont les mathématiques modernes et l’informatique qui nous permettent de répondre à ces questions et de comprendre en quoi la maîtrise de l’ordre du Tsérouf est si fondamentale pour la kabbale.

Renversements de suffixe

En 1984, le mathématicien Shmuel Zaks publie un court article portant sur les algorithmes de génération de permutations, intitulé A new algorithm for generation of permutations.

Dans son article, Zaks donne un procédé simple, efficace et élégant pour générer toutes les permutations d’un mot, en n’employant qu’une seule opération : le renversement de suffixe, c’est-à-dire l’inversion de l’ordre des dernières lettres du mot.

Et la longueur des suffixes que l’on doit renverser suit un rythme très facile à retenir :

232324

232324

232324

23232

Le procédé de Zaks, d’apparence si naïf, a attiré l’intérêt des mathématiciens qui ont créé un objet du nom de Pancake Graph. Dans ce graphe,

1. les sommets sont tous les agencements possibles d’un mot de n lettres
2. les arêtes relient les sommets qui ne diffèrent que par un renversement de suffixe

Ce graphe possède des propriétés très étonnantes et particulièrement intéressantes dans le cadre de la théorie des réseaux :

1. auto-similarité
2. tolérance maximale aux pannes

Ce qui est encore plus étonnant, c’est que le procédé de Zaks engendre précisément l’ordre d’Aboulafia

1. En renversant les 2 dernières lettres de ABCD, on obtient ABDC
2. En renversant les 3 dernières lettres de ABDC, on obtient ACDB
3. etc…

Une seule opération, et c’est un renversement. Voilà qui répond à la première question : le Tsérouf est une succession de renversements partiels qui aboutissent au renversement complet du mot.

Il existe énormément d’algorithmes permettant d’énumérer toutes les permutations d’un mot, mais aucun n’est aussi simple et aussi élégant que celui de Zaks.

Mais il y a plus encore…

La symétrie du monde

L’informatique nous permet de dessiner la structure du Tserouf, en visualisant le Pancake Graph selon l’ordre d’Aboulafia, en utilisant la formule de Zaks.

On ordonne chacun des mots de façon équidistante sur un cercle, selon l’ordre d’Aboulafia, et on relie chaque mot à son mot miroir.

Pour 4 lettres, on obtient le graphe suivant :

Pour 6 lettres :

Jusque-là, rien de très surprenant. Mais quand on dessine le graphe de 7 lettres, il se passe quelque chose.

Prenez le temps d’apprécier…

Des motifs aux formes arrondies semblent émerger de ce graphe qui n’est pourtant fait que de lignes droites.

Et cela n’arrive pas avec aucun des autres algorithmes de génération de permutations, connus à ce jour. C’est une propriété unique à l’ordre d’Aboulafia.

Avec l’aide d’un ami mathématicien, nous avons pu le démontrer de façon formelle dans un article publié en juillet 2026.

Les cordes du graphe semblent s’orienter de façon chaotique et pourtant elles s’organisent en une symétrie diédrale, celle, précisément, d’un polygone régulier ayant autant de sommets que le Tserouf compte de lettres. Autrement dit, vous pouvez faire tourner ce graphe d’un septième de tour sans qu’il change. Et si vous le regarder dans un miroir, il reste le même.

Il me semble que c’est précisément le sens de la phrase d’introduction du Tserouf : «  les lettres ont été mises en rotation de face et de dos ».

Et cela n’est pas anodin, car on retrouve cette même symétrie diédrale au cœur du vivant !

Depuis le XIXᵉ siècle, il existe un appareil qui met en scène la symétrie diédrale : le kaléidoscope.

Son nom nous dit ce qu’il fait :

• καλός (kalos) — le beau,
• εἶδος (eidos) — la forme
• σκοπεῖν (skopein) — regarder

Le kaléidoscope est un instrument où l’on regarde de belles formes. Et le secret de leur beauté c’est la symétrie diédrale, selon un agencement de miroirs qui renversent un motif quelconque, encore et encore selon une méthode simple mais précise.

Cette symétrie a le pouvoir de transformer n’importe quel motif en une forme harmonieuse.

Cet agencement de miroirs renverse le motif encore et encore, tout comme le Tserouf renverse les lettres.

Aboulafia aurait donc construit un kaléidoscope littéraire avant l’heure. En l’utilisant, il a pu avoir accès à la prophétie, et il nous a donné la méthode pour le reconstruire.

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